1、令f(x)=xe^(1-x)
显然f(1)=1
f '(x)=e^(1-x)-xe^(1-x)=(1-x)e^(1-x)
在x>1时，f '(x)<0
对任意x>1，f(x)=f(1)+f '(c1)*(x-1)=1+f '(c1)*(x-1)
c1属于(1,x)，因为c1>1，因此f '(c1)<0，f(x)<1
在x<1时，f '(x)>0
对任意x<1，f(x)=f(1)+f '(c2)*(x-1)=1+f '(c2)*(x-1)
c2属于(x,1)，因为c2<1，因此f '(c2)>0，f(x)<1
因此对任何实数，均有xe^(1-x)≤1
2、方程两边同时对x求导
(1+y ' )e^(x+y)=xy ' +y
y ' =[ y-e^(x+y) ]/[ e^(x+y)-x ]
3、当x=0，分母1-e^(-x^2)=0，因此有渐近线：x=0
当x趋向于正无穷大或负无穷大时，e^(-x^2)趋向于0，y趋向于1，因此有渐近线y=1
填空：
1、1
2、y '' =(6x+6x^2+x^3)*e^x
3、1/2
4、e^x-3arcsinx+2ln|x|+C ，C是任意常数
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一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.
1.
A.2/3 B.1 C.3/2 D.3
答案：C
2.设函数y=2x+sinx,则y/=
A.1-cosx B.1+cosx C.2-cosx D.2+cosx
答案：D
3.设函数y=ex-2,则dy=
A.ex-3dx B.ex-2dx C.ex-1dx D.exdx
答案：B
4.设函数y=(2+x)3，则y/=
A.(2+x)2 B.3(2+x)2 C.(2+x)4 D.3(2+x)4
答案：B
5.设函数y=3x+1,则y/=
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
6.
A.ex B.ex-1 C.ex-1 D.ex+1
答案：A
7.
A.2x2+C B.x2+C C.1/2x2+C D.x+C
答案：C
8.
A.1/2 B.1 C.2 D.3
答案：C
9.设函数z=3x2y，则αz/αy=
A.6y B.6xy C.3x D.3X2
答案：D
10.
A.0 B.1 C.2 D.+∞
答案：B
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分.把答案填在题中横线上.
11.
答案：e2
12.设函数y=x3,则y/=
答案：3x2
13.设函数y=(x-3)4,则dy=
答案：4(x-3)3dx
14.设函数y=sin(x-2)，则y"=
答案：-sin(x-2)
15.
答案：1/2ln|x|+C
16.
答案：0
17.过坐标原点且与直线(x-1)/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为
答案：3x+2y-2z=0
18.设函数x=3x+y2，则dz=
答案：3dx+2ydy
19.微分方程y/=3x2的通解为y=
答案：x3+C
20.
答案：2
三、解答题：21-28题，共70分。解答应写出推理、演算步骤。
21.(本题满分8分)
22.(本题满分8分)
23.(本题满分8分)
求曲线y=x3-3x+5的拐点。
解：y/=3x2-3,y"=6x
令y"=0，解得x=0
当x<0时，y"0时，y">0
当x=0是，y=5
因此，点(0,5)为所给曲线的拐点
24.(本题满分8分)
25.(本题满分8分)
26.(本题满分10分)
设D为曲线y=x2与直线y=x所围成的有界平面图形，求D饶x轴旋转一周所得旋转体的体积V。
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